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[3]:521

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设H是从集合E0={}开始,尺规可作点的集合: 那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

定义:实数ab是规矩数当且仅当(a, b)H中的一个点。[3]:522

可以证明,有理数集是所有规矩数构成的集合K的子集,而K又是实数集的子集。另外,为了在复数集内讨论问题,也会将平面看作复平面,同时定义一个复数a+bi是(复)规矩数当且仅当点(a, b)H中的一个点。所有复规矩数构成的集合L也包含作为子集,并且是复数集的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。[3]:522

域的扩张与最小多项式[编辑]

以集合的观念来说,L与、之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明L是有理数域的扩域,是实数域的子域。记作。是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线OA(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点[1]。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数z),那么也能做出任意pz+q的点,甚至于任何形如:

的点(其中P1P2是两个多项式)。有理数域和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为关于z的扩张,记作。然而,中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式P使得P(z)=0,那么中的元素都可以写成λ12z+...+λdzd−1的形式,其中dP的阶数。这样的情况称为域的有限扩张,因为可以看成关于的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得m(z)=0的多项式中阶数最小的,并称mz最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定1, z, ... , zdm−1是的一个基底,是一个dm维的-线性空间(dmm的阶数)[4]:68。这时候也称dm是域扩张的阶数,记作:

[3]:512

规矩扩张的阶数[编辑]

对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是L,那么生成新点时的直线和圆的系数都在L里面。

直线的方程是:
圆的方程是:

无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的xy值都会是形同

的数值。所以复规矩数z=x+yi满足一个二次方程:

其中的p1+p2iq1+q2i以及t都是L中的元素[3]:523[4]:78-79。这意味着,域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)[1]。这又说明,从L开始,经过一系列(n次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了n次域扩张:

而每次域扩张的阶数:[Lk : Lk-1]都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:[3]:523-524[1]

任何复规矩数z对应的域扩张的阶数都是2的某个幂次:

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